Question

（本小题满分14分）
如图，四边形为矩形，且，，为上的动点.
(1) 当为的中点时，求证：；
(2) 设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的平面角大小为. 试确定点E的位置.

Answer 1

方法一：(1) 证明：当为的中点时，，从而为等腰直角三角形，
则，同理可得，∴，于是，…2分
又，且，∴，
…………………4分  
∴，又，∴. …………………………6分
（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）
（还可以分别算出PE，PD，DE三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分）
(2) 如图过作于，连，则，…7分

∴为二面角的平面角.     ……………9分
设，则.
…………11分

于是　……………………………13分
，有解之得。
点在线段BC上距B点的处. ………………………………14分
方法二、向量方法.以为原点，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图. …………………………1分

（1）不妨设，则，
从而，………………………5分
于是，
所以所以  ………………………6分
（2）设，则，
则    .……………………………………10分
易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为，
则应有 即解之得，令则，，
从而，…………………………………………………………12分
依题意，即，
解之得（舍去），……………………………………13分
所以点在线段BC上距B点的处 .………………………………14分

解析