Question

在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设

m

=（cos

C

2

，sin

C

2

 ），

n

=（cos

C

2

，-sin

C

2

 ），

m

，

n

的夹角为

π

3

．
（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）已知c=

7

2

，三角形的面积S=

3 3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式求得 

m

•

n

=cosC，利用两个向量的数量积的定义求得

m

•

n

=

1

2

，由此可得cosC=

1

2

，从而求得C的值．
（Ⅱ）S=

1

2

absinC=

3 3

2

，求得ab=6，再余弦定理求得a+b的值．

解答：解：（Ⅰ） 

m

•

n

=cos²

C

2

-sin²

C

2

=cosC，又

m

•

n

=|

m

||

n

|cos

π

3

=

1

2

，
故cosC=

1

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

．
（Ⅱ）S=

1

2

absinC=

1

2

absin

π

3

=

3

4

ab，又已知S=

3 3

2

，故

3

4

ab=

3 3

2

，∴ab=6．
∵c²=a²+b²-2abcosC，c=

7

2

，∴

49

4

=a²+b²-2ab×

1

2

=（a+b）²-3ab．
∴（a+b）²=

49

4

+3ab=

49

4

+18=

121

4

，
∴a+b=

11

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，以及余弦定理的应用，属于中档题．