Question

（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，且（），

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的前n项和为，，试比较与的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见解析

（2）

【解析】本试题主要是考查了数列的概念的运用，以及数列的求和的综合运用。

（1）根据数列的前n项和为，且（），

前n项和与其通项公式的关系，对于n令值，然后分别得到n=1, 时的关系式得到结论。

（2）在第一问的基础上，选择合适的求和方法，因为由（１）得，于是，，所以，裂项求和得到结论。

解： （1）得，

当时，由得，

所以是首项和公比均为的等比数列.………………４分

（２）由（１）得，于是，.

所以，于是，…………８分

而，所以问题转化为比较与的大小，………１０分

设，，

当时， ，而，所以.

经验证当时，仍有.

因此对任意的正整数，都有,即……………….１２分