题目内容
设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）对任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）＜f（x2）；
（4）对任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），
上述四个命题中正确的有
分析：观察四个命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，对于命题（1）（2）可采取令x1=x，x2=1-x，即可得到
+
≥2结合已知条件②即可得到（2）是正确的；对于（3）（4）对条件
+
≤2中的两个变量x1，x2交换位置可得
+
≤2两式相加即可得到结论．
| f(x) |
| f(1-x ) |
| f(1-x ) |
| f(x ) |
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
解答：解：由于命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，
对于命题（1）（2），令x1=x，x2=1-x，结合①则有
+
≥2，等号当
=
时成立
又由②知
+
≤2，由此知
=
=1，即f（x）=f（1-x），故（2）对；
对于（3）（4），将②中的变量x1，x2交换位置可得
+
≤2
故有
+
+
+
≤4等号当且仅当
=
=1，
=
=1时成立
又由①即基本不等式知
+
+
+
≥4等号当且仅当
=
=1，
=
=1时成立
故有
=
=1，即对任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），（4）正确
综上知（2）（4）正确．
故答案为（2）（4）．
对于命题（1）（2），令x1=x，x2=1-x，结合①则有
| f(x) |
| f(1-x ) |
| f(1-x ) |
| f(x ) |
| f(x) |
| f(1-x ) |
| f(1-x ) |
| f(x ) |
又由②知
| f(x) |
| f(1-x ) |
| f(1-x ) |
| f(x ) |
| f(x) |
| f(1-x ) |
| f(1-x ) |
| f(x ) |
对于（3）（4），将②中的变量x1，x2交换位置可得
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
故有
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
又由①即基本不等式知
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
故有
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
综上知（2）（4）正确．
故答案为（2）（4）．
点评：本题考点是抽象函数及其应用，解决本题的关键是构造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等号成立的条件找到命题正确判断的依据，本题较抽象，要求解题者构造证明问题的意识要强．入手难，难度较大．
练习册系列答案
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