Question

【题目】如图，已知是上、下底边长为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折叠，使二面角为直二面角.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）可以以点为原点， 为轴建立空间直角坐标系，证明，或是证明平面，即证明，（2）向量法是分别求两个平面和的法向量，求法向量夹角的余弦值.

试题解析：解法一：（1）证明由题设知，，所以是所折成的直二面角的平面角，即.

故可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

如图，则相关各点的坐标是，，，，

从而，，.

所以.

（2）因为，所以.

由（1），所以平面，是平面的一个法向量，

设是平面的一个法向量，

由取，得.

设二面角的大小为，由、的方向可知，所以即二面角的余弦值是.

解法二：（1）证明：有题设知，，

所以是所折成的直二面角的平面角，

即.从而平面，

是在面内的射影.

因为，，

所以，，从而，平面.

可得.

（2）由（1），，知平面，

设，过点作于，连接，则是在平面内的射影，由平面可得.

所以是二面角的平面角，

由题设知，，，

所以，，

从而，又，

所以，即二面角的余弦值.