Question

没椭圆的左、右焦点分别F₁、F₂，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F₁F₂的周长为16．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线l被椭圆C所截线段的中点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程及其参数a、b、c的关系即可得出；
（Ⅱ）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系就线段的中点坐标公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由题意得，解得，
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线l的方程为，
与椭圆的方程联立，消去y得到x²-3x-8=0，
∵x₁+x₂=3，∴线段AB的中点的横坐标为．
∴线段AB的中点的纵坐标为=．
∴线段AB的中点的坐标为．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、线段的中点坐标公式是解题的关键．