Question

已知关于x的不等式|x|+|x+

1

4

|≥|a|+|a-

1

4

|在x∈R时恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：关于x的不等式|x|+|x+

1

4

|≥|a|+|a-

1

4

|在x∈R时恒成立?(|x|+|x+

1

4

|)min≥|a|+|a-

1

4

|，x∈R．利用绝对值的几何意义和对a分类讨论即可得出．

解答：解：关于x的不等式|x|+|x+

1

4

|≥|a|+|a-

1

4

|在x∈R时恒成立?(|x|+|x+

1

4

|)min≥|a|+|a-

1

4

|，x∈R．
∵|x|+|x+

1

4

|≥

1

4

，
∴|a|+|a-

1

4

|≤

1

4

．（*）
①当a＞

1

4

时，（*）?2a-

1

4

≤

1

4

，解得a≤

1

4

，此时a∈∅；
②当0≤a≤

1

4

时，（*）?a+

1

4

-a≤

1

4

，即0≤0，此时恒成立，∴0≤a≤

1

4

；
③当a＜0时，与①同理，此时a∈∅．
综上可知：实数a的取值范围是[0，

1

4

]．
故答案为：[0，

1

4

]．

点评：本题考查了绝对值的几何意义和分类讨论的方法，属于基础题．