题目内容
如图，4×4的方阵共16个黑点中，中间的4个点在一个圆内，其余的12个点内在圆外，若从这16个点中任取3个，使之构成三角形，且至少有一个顶点在圆内的三角形共有 ．
【答案】分析：事件“至少有一个顶点在圆内”包括了三个事件“有一个点在圆内”与“有两个点在圆内”及“三个点在圆内”，注意到构成三角形的条件是三点不共线，由此规律对两个事件计数，求得它们的和即为事件“至少有一个顶点在圆内”所包括的基本事件数
解答：解：由题意事件“至少有一个顶点在圆内”包括了三个事件“有一个点在圆内”与“有两个点在圆内”，“三个点在圆内”
先计算事件“有一个点在圆内”，从圆外的12个点中取两个，共有C122=66种取法，三点共线的取法有4种，故总的取法有62种，又圆内有四个点，故事件“有一个点在圆内”包括的基本事件数有62×4=248，
对于事件“有两个点在圆内”，从圆外取一个点有12种取法，满足三点共线的取法有2种，故任取圆内两点，圆外取一点，组成的三角形的个数为10种，又圆内四点取两个有C42=6种取法，故事件“有两个点在圆内”，包含的基本事件数为10×6=60种
事件“三个在圆内”包括的基本事件数为C43=4个，
综上，事件“至少有一个顶点在圆内”的三角形总共有248+60+4=312种
故答案为312
点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，解题的关键是正确理解事件至少有一个顶点在圆内的三角形”，将此计数问题分为三类计数，本题考查了分类讨论的思想，当一个事件包含的基本事件有较大的区别时，常采用分类计数的办法计数，解题时要注意此技巧的使用，注意分类要分清楚．
解答：解：由题意事件“至少有一个顶点在圆内”包括了三个事件“有一个点在圆内”与“有两个点在圆内”，“三个点在圆内”
先计算事件“有一个点在圆内”，从圆外的12个点中取两个，共有C122=66种取法，三点共线的取法有4种，故总的取法有62种，又圆内有四个点，故事件“有一个点在圆内”包括的基本事件数有62×4=248，
对于事件“有两个点在圆内”，从圆外取一个点有12种取法，满足三点共线的取法有2种，故任取圆内两点，圆外取一点，组成的三角形的个数为10种，又圆内四点取两个有C42=6种取法，故事件“有两个点在圆内”，包含的基本事件数为10×6=60种
事件“三个在圆内”包括的基本事件数为C43=4个，
综上，事件“至少有一个顶点在圆内”的三角形总共有248+60+4=312种
故答案为312
点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，解题的关键是正确理解事件至少有一个顶点在圆内的三角形”，将此计数问题分为三类计数，本题考查了分类讨论的思想，当一个事件包含的基本事件有较大的区别时，常采用分类计数的办法计数，解题时要注意此技巧的使用，注意分类要分清楚．
练习册系列答案
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杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14与第15个数的比为
，求n的值；
（3）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m、k（m，k∈N×）的数学公式表示上述结论，并给予证明．
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14与第15个数的比为
，求n的值；（3）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m、k（m，k∈N×）的数学公式表示上述结论，并给予证明．
| 第0行 | 1 | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | 第1斜列 | |||||||||||
| 第1行 | 1 | 1 | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | 第2斜列 | |||||||||||
| 第2行 | 1 | 2 | 1 | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | 第3斜列 | |||||||||||
| 第3行 | 1 | 3 | 3 | 1 | … | … | … | … | … | … | … | … | … | 第4斜列 | |||||||||||
| 第4行 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | … | … | … | … | … | … | … | … | 第5斜列 | |||||||||||
| 第5行 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | … | … | … | … | … | … | … | 第6斜列 | |||||||||||
| 第6行 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | … | … | … | … | … | … | 第7斜列 | |||||||||||
| 第7行 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | … | … | … | … | … | 第8斜列 | |||||||||||
| 第8行 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | … | … | … | … | 第9斜列 | |||||||||||
| 第9行 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | … | … | … | 第10斜列 | |||||||||||
| 第10行 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 | … | … | 第11斜列 | |||||||||||
| 第11行 | 1 | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 1 | … | 第12斜列 | |||||||||||
| 11阶杨辉三角 | |||||||||||||||||||||||||
相等的向量，要求向量的起点和终点都在方格的顶点处．