Question

【题目】已知函数= ,其中.

(1)证明:当时,函数在上为增函数;

(2)设函数= ,若函数只有一个零点,求实数的取值范围,并求出该零点(可用表示).

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）作差变形，提取公因式，再根据指数函数单调性确定符号，最后根据单调性定义确定增减性（2）先化为关于二次方程，再根据对称轴与定义区间位置关系确定二次函数零点，进而确定实数的取值范围.

试题解析：(1)设,

由=得==

因为,

所以,即

又,所以即

所以在上为增函数.

(2) = =

令,得=

即=,

因为只有一个零点,

即方程=只有一解,

设,则

令= ,问题转化为函数只有一个正的零点,

时,因为,所以对称轴在的右侧

又

所以仅当时, 只有一个正的零点,

故,解得,

此时, ,

由;

解得的零点为.

②当时,因为=,

所以对称轴在的左侧,

在上为减函数,

又= =,

所以在上仅有一个零点,

因而在上仅有一个零点,此时=

由=知,零点为,

综上,所求的取值范围是或,

且当时,零点为,

当时,零点为.