一种酒杯的形状可由抛物线x2=2py绕y轴旋转而成.将长为l的玻璃棒随意地放人酒杯内(杯壁足够高.能没入玻璃棒).试确定玻璃棒的平衡位置．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

一种酒杯的形状可由抛物线x²=2py（p＞0）绕y轴旋转而成，将长为l的玻璃棒（质地均匀）随意地放人酒杯内（杯壁足够高，能没入玻璃棒），试确定玻璃棒的平衡位置．

分析：确定平衡位置，即求玻璃棒中点M到x轴距离的最小值，可利用抛物线的定义进行简单求解．

解答：

解：当AB=l≥2p时，AB可以经过焦点F（0，

），
如图所示，BB′=BF，AA′=AF，
∴l=AB≤AF+BF=AA′+BB′=2MM′=2（d+

）
∴dmin=

l-p

（d表示点M到x轴的距离）
当AB=l＜2p，即AB平行于x轴时，点M到x轴的最小距离为dmin=

点评：本题考查抛物线的定义，考查学生分析和解决问题的能力，属于中档题．

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小明家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯(如图1)，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4 cm，杯深为8 cm(如图2)，称之为抛物线酒杯．

(1)请选择适当的坐标系，求出抛物线酒杯的方程．

(2)一次，小明在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球能触及酒杯杯底．但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃不能触及酒杯杯底．小明想用所学过数学知识研究一下，当玻璃球的半径r为多大值时，玻璃球一定会触及酒杯杯底部．你能帮助小明解决这个问题吗？

(3)在抛物线酒杯中，放入一根粗细均匀，长度为2 cm的细棒，假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中位置如何？

小明家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯(如图(1))，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4 cm，杯深为8 cm(如图(2))，称之为抛物线酒杯．

(1)请选择适当的坐标系，求出抛物线酒杯的方程．

(2)一次，小明在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球能触及酒杯杯底．但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃球能触及酒杯杯底．小明想用所学过的数学知识研究一下，当玻璃球的半径r为多大值时，玻璃球一定会触及酒杯杯底部．你能帮助小明解决这个问题吗？

(1)请选择适当的坐标系,求出抛物线酒杯的方程.

(2)一次,小明在游戏中注意到一个现象,若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,则任何玻璃球都不能触及酒杯杯底.但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中,则有些小玻璃球能触及酒杯杯底.小明想用所学数学知识研究一下,当玻璃球的半径r为多大值时,玻璃球一定会触及酒杯杯底.你能帮助小明解决这个问题吗?

(3)在抛物线酒杯中,放入一根粗细均匀、长度为2 cm的细棒,假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计,那么当细棒最后达到平衡状态时,细棒在酒杯中位置如何?

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