题目内容

已知△ABC中，(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)⊥
BC
，且2
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|，则△ABC的形状为（　　）
分析：
AB
|
AB
|
，
AC
|
AC
|
都是单位向量，利用向量的平行四边形法则判断出它们的和在角平分线上，有向量垂直得到两边相等；利用向量的数量积和已知条件求出角A，判断出三角形的形状．
解答：解：∵
AB
|
AB
|
，
AC
|
AC
|
分别 与
AB
，
AC
同向的单位向量，
∴
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
在∠BAC的角平分线上
∵(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)⊥
BC

∴∠BAC的平分线垂直于BC，
∴AB=AC．
∵2
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|=2|
AB
||
AC
|cosA
∴cosA=
1
2

∴A=60°
∴△ABC为等边三角形
故选A
点评：本题考查单位向量、向量的平行四边形法则、及向量的数量积公式的应用．解题的关键是发现
AB
|
AB
|
，
AC
|
AC
|
分别 与
AB
，
AC
同向的单位向量．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．
已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB边上的高所在的直线方程；
（2）直线l∥AB，与AC，BC依次交于E，F，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直线方程．
已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，则边长c=
3
3
．
已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)满足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面积S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．
已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．

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