Question

若函数f（x）=

2

3

x3-

x2

2

+(a2-a-3)x．
（1）若f（x）在x=1处的切线方程式y=-2x+3，这样的a是否存在？若存在，求出a的值，不存在说明理由．
（2）若f（x）在区间[1，3]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要使得f（x）在x=1处的切线方程为y=-2x+3则f′（1）=-2⇒a=0或1，再利用切点为（1，1）可解；
 （2）f（x）在区间[1，3]上单调递增等价于f′（x）=2x²-x+a²-a-32x²-x+a²-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立，从而转化为a²-a-3≥（x-2x²）_max，从而得解．

解答：解：（1）设存在实数a，使得f（x）在x=1处的切线方程为y=-2x+3
则f′（1）=-2⇒a=0或1，
当a=0时，f(x)=

2

3

x3-

x2

2

-3x，不过(1，1)
当a=1时，f(x)=

2

3

x3-

x2

2

-3x，不过(1，1)
∴不存在这样的a．
（2）f′（x）=2x²-x+a²-a-32x²-x+a²-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立?a²-a-3≥x-x²在x∈[1，3]上恒成立?a²-a-3≥（x-2x²）_max，在x∈[1，3]x-2x2=-2(x-

1

4

)2+

1

8

，当x=1时，有最大值-1⇒a²-a-3≥-1⇒a≥2或a≤-1

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，同时考查了恒成立问题的处理．