Question

已知椭圆C：，的离心率为，A、B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且．
（I）求椭圆的方程；
（II）过（-1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点，求△POQ的面积的最大时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据离心率为，，建立方程组，求得椭圆的基本量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）方法一：设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去y，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论．
方法二：设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去x，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，解得，
所以椭圆的方程为．…（4分）
（Ⅱ）方法一：设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，则…（6分）
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆方程，
得（4k²+1）x²+8k²x+4（k²-1）=0，两个根为x₁，x₂，，…（7分）
则（k≠0），
又原点到直线l的距离d=，…（8分）
所以（k≠0）
=…（11分）
所以，当直线l的方程为x=-1时，△POQ面积最大．…（12分）
方法二：设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，则．…（6分）
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆方程，得，两个根为y₁，y₂，△＞0恒成立，，…（7分）…（8分）
∴
=…（11分）
所以，当直线l的方程为x=-1时，△POQ面积最大．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示三角形的面积是关键．