Question

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数f(x)=ln

1-x

1+x

是否满足这些条件；
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．

Answer 1

（Ⅰ）由

1-x

1+x

＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）
又f(x)+f(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

•

1-y

1+y

)=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f(

x+y

1+xy

)
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴

1-x

1+x

＞1∴ln

1-x

1+x

＞0
故f(x)=ln

1-x

1+x

满足这些条件．（3分）
（Ⅱ）∵f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0?f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)
当-1＜x＜y＜1时，

x-y

1-xy

＜0，由条件知f(

x-y

1-xy

)＞0，
即f（x）-f（y）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．