Question

若函数f（x）在区间[m，n]上是增函数，在区间[n，k]上也是增函数，则函数f（x）在区间（m，k）上的单调性是________．

Answer 1

增函数
分析：先判断函数f（x）在区间（m，k）上也是增函数，利用增函数的定义进行证明．
解答：证明：若函数f（x）在区间[m，n]上是增函数，在区间[n，k]上也是增函数，则函数f（x）在区间（m，k）上
也是增函数，故答案为 增函数．
证明：在区间[m，n]上任取两个数x₁＜x₂，根据函数f（x）在区间[m，n]上是增函数，可得f（x₁）＜f（x₂）．
在区间[n，k]上任取两个数x₃＜x₄，根据函数f（x）在 区间[n，k]上也是增函数，可得fx₃）＜f（x₄）．
在区间（m，k）上 任取两个数x₅＜x₆，若x₅，x₆同在区间[m，n]上，则f（x₅）＜f（x₆）；
若x₅，x₆同在区间[n，k]上，则也有f（x₅）＜f（x₆）；若（x₅）在区间[m，n]上，（x₆）在 区间[n，k]上，
则f（x₅）≤f（n），f（x₆）≥f（n），且最多只有一个不等式能取等号，f（x₅）＜f（x₆）．
故函数f（x）在区间（m，k）上的单调递增．
点评：本题考查函数的单调性的定义和证明方法，体现了分类讨论的数学思想，证明f（x₅）＜f（x₆）是解题的难点．