Question

设a＞0，函数f(x)=

x

a2+x2

的导函数为f'（x）．
（Ⅰ）求f'（0），f'（1）的值，并比较它们的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

由于函数f(x)=

x

a2+x2

（a＞0）的导函数为f'（x），
则f′(x)=

(a2+x2)-x×2x

(a2+x2)2

=

a2-x2

(a2+x2)2

=-

(x+a)(x-a)

(a2+x2)2

（1）f'（0）=

1

a2

，f'（1）=

a2-1

(a2+1)2

由于a＞0，a²＜a²+1，则

1

a2

＞

1

a2+1

=

a2+1

(a2+1)2

＞

a2-1

(a2+1)2

，故f'（0）＞f'（1）
（2）令f′（x）=0，则x=-a或x=a
当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以，当x=a时，函数有极大值，且f（a）=

1

a3

，
当x=-a时，函数有极小值，且f（-a）=-

1

a3

．