Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若asinC=

3

ccosA，

AB

•

AC

=2．
（I）求△ABC的面积；
（II）若b=1，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化简已知的第一个等式，根据sinC不为0，利用同角三角函数间的基本关系求出tanA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出sinA与cosA的值，再利用平面向量的数量积运算法则计算第二个等式，求出bc的值，由bc与sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（II）由bc及b的值，求出c的值，再由cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（I）由正弦定理化简asinC=

3

ccosA得：sinAsinC=

3

sinCcosA，
∵C为三角形的内角，sinC≠0，
∴sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
∵A为三角形的内角，∴A=

π

3

，
又

AB

•

AC

=bccosA=2，∴bc=4，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

；
（II）∵bc=4，b=1，
∴c=4，又cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+16-4=13，
则a=

13

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．