Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-（a_n+2）S_n+1=0，1-S_n=a_nb_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若正项数列{c_n}满足cn≤

a

1+(bn-1)a

(n∈N*，0＜a＜1)，求证：

n

k=1

ck

k+1

＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求a₁，a₂的值只需要把n=1，2时代入即可顺利解答；
（Ⅱ）求通项公式需要利用重要性质：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，本题这一问利用这个结论可以得到含S_n，S_n-1的关系式，求出前几项S₁，S₂，S₃，猜想出S_n，然后用数学归纳法证明即可．
（Ⅲ）利用（II）的结论以及条件1-S_n=a_nb_n很容易得到 b_n的关系式，然后利用放缩法解答证明这一问，需要适当的变形．

解答：解：（Ⅰ）S12-(a1+2)S1+1=0?a1=

1

2

，

S

2 2

-(a2+2)S2+1=0?a2=

1

6

…（3分）
（Ⅱ） S_n²-（a_n+2）S_n+1=0…①
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1代入①式得S_nS_n-1-2S_n+1=0…②…（5分）
由 （Ⅰ） 知S1=

1

2

，S2=a1+a2=

2

3

，S3=

1

2-S2

=

3

4

猜想Sn=

n

n+1

…（6分）
下用数学归纳法证明
（1°）n=1已证明；
（2°）假设n=k，Sk=

k

k+1

则n=k+1时S_k+1S_k-2S_k+1=0Sk+1=

1

2- k k+1

=

k+1

k+1+1

成立
综合1°，2°猜想成立．
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

n(n+1)

，当n=1时也满足，故an=

1

n(n+1)

，(n∈N*)
（Ⅲ）由（Ⅱ） b_n=n，cn≤

a

1+(n-1)a

=

1

1 a +n-1

＜

1

n

，则

n

k=1

ck

k+1

＜

n

k=1

1

k(k+1)

=1-

1

n+1

＜1…（13分）

点评：本题考查数列的递推公式的概念以及求数列通项的知识，第（I）问属于低档题目，第（II）问中要先求出S_n的关系式，再来求{a_n}的通项公式，再递推式S_nS_n-1-2S_n+1=0比较烦琐又很难归求出S_n的关系式时，可以先求出前几项，猜想出S_n的公式，再利用数学归纳法证明之，这是一个不错的解题思路．本题还综合考查了不等式的放缩法，分离法求数列前n项和这个重要考点！