Question

在平面直角坐标系xOy中，“直线y=x+b，b∈R与曲线x=

1-y2

相切”的充要条件是

b=-

2

．

Answer 1

分析：将曲线x=

1-y2

化简，得它是单位圆位于y轴右侧的部分，直线y=x+b与曲线x=

1-y2

相切，即原点到直线的距离等于1，再结合切点的位置即可得到b的值，从而得到所求的充要条件．

解答：解：曲线x=

1-y2

化简，得x²+y²=1（x≥0）
∴曲线表示单位圆位于y轴右侧的部分
∵直线y=x+b与曲线x=

1-y2

相切
∴圆心（0，0）到直线x-y+b=0的距离等于1，
即

|0-0+b|

2

=1，解得b=±

2

，
∵切点位于第四象限，
∴b＜0，可得b=-

2

（舍正）
因此，“直线y=x+b，b∈R与曲线x=

1-y2

相切”的充要条件是b=-

2

故答案为：b=-

2

点评：本题给出直线与单位圆相切，求参数的值，着重考查了曲线与方程、直线与圆的位置关系和充要条件等知识，属于基础题．