Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-x2．
（1）求f（x）的极值；
（2）已知a∈R，设函数g(x)=

4

3

x3+ax2+(a+1)x的单调递减区间为B，且B≠∅，函数f（x）的单调递减区间为A，若B⊆A，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而函数f（x）的极值；
（2）由上题可知，A=（0，2）g'（x）=4x²+2ax+a+1必须有个不等的实数根，其单调递减区间为两根之间的区间，
由于B⊆A，即g′（x）的两根必须在区间（0，2）内部，由二次函数的图象即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）求导函数可得f'（x）=x²-2x=x（x-2）…（2分）
如下表

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

…（4分）
由表知，f （x）的极大值为f （0）=0，f （x）的极小值为f （2）=-

4

3

…（6分）
（ 2 ） 由上题可知，A=（0，2）
由题意可知，g'（x）=4x²+2ax+a+1必须有个不等的实数根，其单调递减区间为两根之间的区间，
由于B⊆A，即g′（x）的两根必须在区间（0，2）内部，由二次函数的图象可知，

△＞0 0＜- a 4 ＜2 g′(0)≥0 g′(2)≥0

⇒

a＜2-2 2 或a＞2+2 2 -8＜a＜0 a≥-1 a≥- 17 5

⇒-1≤a＜2-2

2

…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是明确g'（x）=4x²+2ax+a+1必须有个不等的实数根，其单调递减区间为两根之间的区间．