Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a_n+1=

3an+5，an为奇数 an 2k ，其中k是使an+1为奇数的正整数，an为偶数

（Ⅰ）当a₁=19时，a₂₀₁₄=

98

；
（Ⅱ）若a_n是不为1的奇数，且a_n为常数，则a_n=

5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔细观察能够发现{a_n}是周期为6的周期数列，故a₂₀₁₄=a_{4+（6×336）}=a₄；
（Ⅱ）由是不为1的奇数且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，知a_n=p，利用a_n=a_n+2再由数列{a_n}的各项均为正整数，能求出p．

解答：解：（Ⅰ）由题知，a₁=19，
a₂=3×19+5=62，
a₃=

62

2

=31
a₄=3×31+5=98，
a₅=

98

2

=49，
a₆=3×49+5=152，
a₇=

152

23

=19，
a₈=3×19+5=62，
∴{a_n}从是周期为6的周期数列，
∴a₂₀₁₄=a₄=98．
（Ⅱ）a_n是不为1的奇数且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，
则a_n=p，a_n+1=3p+5，a_n+2=

an+1

2k

=

3p+5

2k

=p．
∴（3-2^k）p=-5，
∵数列{a_n}的各项均为正整数，
∴当k=2时，p=5，
当k=3时，p=1舍去． 
故答案为：98，5．

点评：本题考查数列的递推公式的性质和应用，解题时分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔细观察能够发现{a_n}是周期为6的周期数列，借助数列的周期性进行求解．