Question

如果函数f（x）=

1

3

x3-x满足：对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a²恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A．[-

  6

  3

  ，

  6

  3

  ]
• B．[-

  2 3

  3

  ，

  2 3

  3

  ]
• C．（-∞，-

  6

  3

  ]∪[

  6

  3

  ，+∞)
• D．（-∞，-

  2 3

  3

  ]∪[

  2 3

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：可通过导数求得f（x）=

1

3

x3-x在x∈[0，2]上的最小值与最大值，从而可得a²≥|f（x）_最大值-f（x）_最小值|，a的取值范围可求得．

解答：解：∵f′（x）=x²-1，
∴当0＜x＜1，f′（x）＜0，
当1＜x＜2，f′（x）＞0，
∴f（x）=

1

3

x3-x在x=1时取到极小值，也是x∈[0，2]上的最小值，即f（x）_极小值=f（1）=-

2

3

=f（x）_最小值，
又f（0）=0，f（2）=

2

3

，
∴在x∈[0，2]上，f（x）_最大值=f（2）=

2

3

，
∵对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a²恒成立，
∴只需a²≥|f（x）_最大值-f（x）_最小值|=

2

3

-（-

2

3

）=

4

3

，
∴a≥

2 3

3

或a≤-

2 3

3

．
故选D．

点评：本题考查函数恒成立问题，关键在于理解题意，转化为求f（x）=

1

3

x3-x在x∈[0，2]上的最小值与最大值，突出考查转化思想与分析解决问题的能力，属于难题．