题目内容

等腰Rt△ACB，AB=2， $数学公式$ ．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：根据题意，结合线面垂直的判定与性质，证出AB⊥平面CMH，从而AM是三棱锥C-HAM的高，得V_C-HAM= $\text{[math]}$ S_△CMH×AM，因此当S_△CMH达到最大值时，三棱锥C-HAM的体积最大．设∠BCD=θ，利用Rt△ACD中等积转换和Rt△ABD∽Rt△AHM，算出CH、HM关于θ的式子，从而得到S_△CMH= $\text{[math]}$ CH•HM= $\text{[math]}$ ，最后根据基本不等式得当tanθ= $\text{[math]}$ 时，S_△CMH达到最大值，根据同角三角函数的基本关系算出cosθ= $\text{[math]}$ ，从而得出CD的长为 $\text{[math]}$ ，即为当三棱锥C-HAM的体积最大时CD的长．
解答：

根据题意，得
∵AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AC⊥BD，
∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，
∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，
∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，
因此，三棱锥C-HAM的体积V= $\text{[math]}$ S_△CMH×AM= $\text{[math]}$ S_△CMH由此可得，当S_△CMH达到最大值时，三棱锥C-HAM的体积最大
设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$
可得CD= $\text{[math]}$ ，BD= $\text{[math]}$
Rt△ACD中，根据等积转换得CH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
Rt△ABD∽Rt△AHM，得 $\text{[math]}$ ，所以HM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
因此，S_△CMH= $\text{[math]}$ CH•HM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵4+2tan²θ≥4 $\text{[math]}$ tanθ，
∴S_△CMH= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当且仅当tanθ= $\text{[math]}$ 时，S_△CMH达到最大值，三棱锥C-HAM的体积同时达到最大值．
∵tanθ= $\text{[math]}$ ＞0，可得sinθ= $\text{[math]}$ cosθ＞0
∴结合sin²θ+cos²θ=1，解出cos²θ= $\text{[math]}$ ，可得cosθ= $\text{[math]}$ （舍负）
由此可得CD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为 $\text{[math]}$
故选：C
点评：本题给出旋转体中，求三棱锥的体积最大值时CD的长，着重考查了线面垂直的判定与性质、基本不等式求最值、相似三角形中比例线段的计算和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．