Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，a_na_n-1-2a_n+1=0（n≥2）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想数列{a_n}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由a₁=

1

2

，a_na_n-1-2a_n+1=0（n≥2），代入n=2，3，4，5计算，可求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．

解答：解：（1）由a₁=

1

2

，a_na_n-1-2a_n+1=0（n≥2），得a₂=

2

3

，a₃=

3

4

，a₄=

4

5

，a₅=

5

6

．
（2）由以上结果猜测：a_n=

n

n+1

用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，左边=a₁=

1

2

，右边=

1

1+1

=

1

2

，等式成立．
②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=

k

k+1

成立．
那么，当n=k+1时，a_k+1a_k-2a_k+1+1=0，所以a_k+1•

k

k+1

-2a_k+1+1=0，解得ak+1=

k+1

k+2

．
这就是说，当n=k+1时等式成立．
由①和②，可知猜测an=对于任意正整数n都成立．（12分）

点评：本题考查数列的通项，考查归纳猜想，考查数学归纳法的运用，属于中档题．