题目内容

直线l过抛物线y2=2px(p＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB？试证明你的结论.

直线l不能垂直平分线段AB


解析:

如果直线l垂直平分线段AB，连AF、BF，∵F（，0）∈l. ∴|FA|=|FB|,设A（x1,y1）,B(x2,y2),显然x1>0,x2>0,y1≠y2,

于是有（x1–）2+y12=(x2–)2+y22,

整理得:（x1+x2–p)(x1–x2)=y22–y12=–2p(x1–x2).

显然x1≠x2(否则AB⊥x轴，l与x轴重合，与题设矛盾）得: 

x1+x2–p=–2p即x1+x2=–p<0,这与x1+x2>0矛盾，

故直线l不能垂直平分线段AB. 

练习册系列答案
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设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（　　）
A、y2=±4xB、y2=4xC、y2=±8xD、y2=8x
已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（　　）
A、y2=4xB、y2=8xC、y2=4x或y2=-4xD、y2=8x或y2=-8x
设斜率为k的直线l过抛物线y2=8x的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则实数k的值为（　　）
A、±2B、±4C、2D、4
在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F交抛物线于A、B两点．
（1）若|AB|=8，求直线l的斜率
（2）若|AF|=m，|BF|=n．求证
1
m
+
1
n
为定值．
（1）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，证明：y1y2=-p2；
（2）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点．

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