Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n²=2a_nS_n-a_n（n≥2）且a₁=2，求a_n和S_n．

Answer 1

分析：在数列{a_n}中，S_n=a₁+a₂+…+a_n；当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．将n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．代入题干关系式，化为数列{S_n}的递推公式，应通过构造新数列，求出数列{S_n}的通项公式，再求a_n．

解答：解：∵2S_n²=2a_nS_n-a_n（n≥2），
∴2S_n²=2（S_n-S_n-1）S_n-（S_n-S_n-1）．
计算化简得，S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，两边同除以S_nS_n-1，
得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，（n≥2），
∴数列{

1

Sn

}是以2为公差的等差数列，首项

1

S1

=

1

a1

=

1

2

，
∴数列{

1

Sn

}的通项公式为

1

Sn

=

1

2

+2（n-1）=

4n-3

2

，
∴S_n=

2

4n-3

，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

2

4n-3

-

2

4(n-1)-3

=-

8

(4n-3)(4n-7)

，
所以a_n=

2，n=1 - 8 (4n-3)(4n-7) ，n≥2

点评：本题考查数列递推公式和通项公式，数列求和．关键是利用了当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1进行变形构造．