Question

已知函数f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出导函数，得到f′（2），再求出f（2），直接写切线方程的点斜式；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，由a＜0，解出导函数大于0和小于0的x的范围，则答案可求．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，
当a=1时，f（x）=

2x

x2+1

，f'（x）=

1-x2

(x2+1)2

．
f（2）=

4

5

，则切点为（2，

4

5

）．
f'（2）=-

3

25

，则切线斜率为-

3

25

，
用点斜式得切线方程为：y-

4

5

=-

3

25

（x-2），即3x+25y-26=0；
（Ⅱ）由f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，得
f'（x）=

-2ax2+(2a2-2)x+2a

(x2+1)2

=

-2(ax+1)(x-a)

(x2+1)2

．
当a＜0时，由-2（ax+1）（x-a）＞0，解得：a＜x＜-

1

a

．
由-2（ax+1）（x-a）＜0，解得：x＜a或x＞-

1

a

．
∴递减区间是（-∞，a），（-

1

a

，+∞），递增区间是（a，-

1

a

）．
极小值是f（a）=1，极大值是f（-

1

a

）=

a2(1-a2)

1+a2

．

点评：本题考查了利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的极值，是中档题．