题目内容

在以下四个命题中,不正确的个数为(  )
(1)若
a
b
-
c
都是非零向量,则
a
 • 
b
=
a
 • 
c
a
⊥(
b
-
c
)的充要条件

(2)已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O,点P在平面ABC内的充要条件是存在x,y,z∈R,
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1
(3)空间三个向量
a
b
c
,若
a
b
 b
c
,  则
a
c

(4)对于任意空间任意两个向量
a
, 
b
a
b
的充要条件是存在唯一的实数λ,使
a
b
分析:利用“两个向量垂直”等价于“两向量的数量积为零”知①正确;根据空间向量基本定理可以推得②正确,举反例可得③、④不正确,因此可得题中的正确命题有两个.
解答:解:对于(1),由向量垂直的充要条件得:
a
b
=
a
c
?
a
(
b
-
c
)  =0
?
a
b
-
c
,说明①正确.
对于(2),若
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1,则
AP
=(x-1)
OA
+y
OB
+z
OC
=y(
OB
-
OA
)+z(
OC
-
OA
)

=y
AB
+z
AC

由空间向量基本定理,得
AP
AB
AC
三个向量共面,说明点P在平面ABC内.
反之,如果点P在平面ABC内,类似地可以证明存在x,y,z∈R,
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1,方法同上,因此②正确.
对于(3),若空间三个向量
a
b
c
,若
a
 ∥
b
b
c
,但
b
是零向量,则不能满足
a
c
,说明③不正确.
对于(4),若两个向量
a
, 
b
a
b
,但若
b
=
o
a
不是零向量,则不存在实数λ,使
a
b
成立说明④不正确.
故选B.
点评:本题考查两个向量数量积的运算和充要条件的定义,属于基础题.熟练掌握向量运算性质,准确理解充要条件的含义,是解决本题的关键.
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