题目内容

已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若 $数学公式$ ，求f（x）的最大值、最小值．

解：（1）f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x= $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，所以f（x）的单调增区间为 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，故单调减区间为 $\text{[math]}$ ．
（2）因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ，即x=0时 $\text{[math]}$ 取得最大值 $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 取得最小值-1．
所以f（x）在 $\text{[math]}$ 上的最大值为1，最小值为- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）两角差的余弦公式化简f（x）为 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 解得x的范围，即得f（x）的单调增区间；由 $\text{[math]}$ ，求得x的范围，
即得f（x）的单调减区间．
（2）根据x的范围求得角2x+ $\text{[math]}$ 的范围，根据余弦函数的单调性、定义域和值域求出函数的最值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，余弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．