题目内容

已知函数f(x)=2sin
x
4
cos
x
4
-2
3
sin2
x
4
+
3
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令g(x)=f(x+
π
3
)，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
（Ⅰ）∵f(x)=2sin
x
4
cos
x
4
-2
3
sin2
x
4
+
3
=sin
x
2
+
3
cos
x
2
=2sin（
x
2
+
π
3
），
∴f（x）的最小正周期T=
2π
1
2
=4π．
当sin（
x
2
+
π
3
）=-1时，f（x）取得最小值-2；
当sin（
x
2
+
π
3
）=1时，f（x）取得最大值2．
（Ⅱ）g（x）是偶函数．理由如下：
由（1）知f（x）=2sin（
x
2
+
π
3
），
又g(x)=f(x+
π
3
)，
∴g（x）=2sin[
1
2
（x+
π
3
）+
π
3
]
=2sin（
x
2
+
π
2
）=2cos
x
2
．
∵g（-x）=2cos（-
x
2
）=2cos
x
2
=g（x），
∴函数g（x）是偶函数．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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