Question

一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是         ．

Answer 1

 

解析试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．

因，
故，从而．
记此时小球与面的切点为，连接，则
．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．
因，有，故小三角形的边长．
小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）

．　　　　　　　　　
又，，所以．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．
考点：(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。