题目内容
（2013•资阳二模）如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| 3 |
| 4 |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| 3 |
| 4 |
| OA |
| 1 |
| 5 |
| OB |
| 3 |
| 4 |
| OA |
| BA |
| 2 |
| 3 |
| OB |
①③
①③
（写出满足条件的所有向量的序号）．分析：利用向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得
=u
+v
成立，且u+v=1．可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足
=u
+v
，且u＞0，v＞0，u+v＞1．据此即可判断出答案．
| OP |
| OA |
| OB |
| OP |
| OA |
| OB |
解答：解：由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得
=u
+v
成立，且u+v=1．
可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足
=u
+v
，且u＞0，v＞0，u+v＞1．
证明如下：如图所示，
点P是阴影区域内的任意一点，过点P作PE∥ON，PF∥OM，分别交OM，ON于点E，F；
PE交AB于点P′，过点P′作P′F′∥OM交ON于点F′，
则存在唯一一对实数（x，y），（u′，v′），使得
=x
+y
=u′
+v′
，且u′+v′=1，u′，v′唯一；
同理存在唯一一对实数x′，y′使得
=x′
+y′
=x′
+y″
=u
+v
，
而x′=x，y″＞y，
∴u=u′，v＞v′，
∴u+v＞u′+v′=1．
即可判断出①∵1+2＞1，∴点P位于阴影区域内，故正确；同理③正确；
而②④不正确；
⑤原式=
+(
-
)+
=
-
，而-
＜0，故不符合条件．
综上可知：只有①③正确．
| OP |
| OA |
| OB |
可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足
| OP |
| OA |
| OB |
证明如下：如图所示，
点P是阴影区域内的任意一点，过点P作PE∥ON，PF∥OM，分别交OM，ON于点E，F；PE交AB于点P′，过点P′作P′F′∥OM交ON于点F′，
则存在唯一一对实数（x，y），（u′，v′），使得
| OP′ |
| OE |
| OF′ |
| OA |
| OB |
同理存在唯一一对实数x′，y′使得
| OP |
| OE |
| OF |
| OE |
| OF′ |
| OA |
| OB |
而x′=x，y″＞y，
∴u=u′，v＞v′，
∴u+v＞u′+v′=1．
即可判断出①∵1+2＞1，∴点P位于阴影区域内，故正确；同理③正确；
而②④不正确；
⑤原式=
| 3 |
| 4 |
| OA |
| OA |
| OB |
| 2 |
| 3 |
| OB |
| 7 |
| 4 |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| 1 |
| 3 |
综上可知：只有①③正确．
点评：熟练掌握向量共线的充要条件：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得
=u
+v
成立，且u+v=1；及当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足
=u
+v
，且u＞0，v＞0，u+v＞1．据此即可判断出答案．是解题的关键．
| OP |
| OA |
| OB |
| OP |
| OA |
| OB |
练习册系列答案
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