题目内容
已知数列{an}是首项为
，公比
的等比数列，设
，数列{cn}满足cn=an•bn．（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若
对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】分析：（1）根据等比数列的通项公式可求得an，代入
求得bn+1-bn为常数，进而判断出数列{bn}是等差数列．
（2）由（1）可分别求得an和bn，进而求得Cn进而用错位相减法进行求和．
（3）把（2）中的Cn，代入Cn+1-Cn结果小于0，进而判断出当n≥2时，Cn+1＜Cn，进而可推断出当n=1时，Cn取最大值，问题转化为
≥
，求得m的取值范围．
解答：解：（1）由题意知，an=（
）n．
∵
，
∴b1=1
∴bn+1-bn=3
an+1=3
an=3
=3
q=3
∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，an=（
）n．bn=3n-2
∴Cn=（3n-2）×（
）n．
∴Sn=1×
+4×（
）2+…+（3n-2）×（
）n，
于是
Sn=1×（
）2+4×（
）3+…（3n-2）×（
）n+1，
两式相减得
Sn=
+3×[（
）2+（
）3+…+（
）n）-（3n-2）×（
）n+1，
=
-（3n-2）×（
）n+1，
∴Sn=
-
（
）n+1
（3）∵Cn+1-Cn=（3n+1）×（
）n+1-（3n-2）×（
）n=9（1-n）×（
）n+1，
∴当n=1时，C2=C1=
当n≥2时，Cn+1＜Cn，即C2=C1＞C3＞C4＜…＞Cn
∴当n=1时，Cn取最大值是
又
∴
≥
即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．
点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，裂项法求和，解不等式等问题．
求得bn+1-bn为常数，进而判断出数列{bn}是等差数列．（2）由（1）可分别求得an和bn，进而求得Cn进而用错位相减法进行求和．
（3）把（2）中的Cn，代入Cn+1-Cn结果小于0，进而判断出当n≥2时，Cn+1＜Cn，进而可推断出当n=1时，Cn取最大值，问题转化为
≥，求得m的取值范围．解答：解：（1）由题意知，an=（
）n．∵
，∴b1=1
∴bn+1-bn=3
an+1=3an=3=3q=3∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，an=（
）n．bn=3n-2∴Cn=（3n-2）×（
）n．∴Sn=1×
+4×（）2+…+（3n-2）×（）n，于是
Sn=1×（）2+4×（）3+…（3n-2）×（）n+1，两式相减得
Sn=+3×[（）2+（）3+…+（）n）-（3n-2）×（）n+1，=
-（3n-2）×（）n+1，∴Sn=
-（）n+1（3）∵Cn+1-Cn=（3n+1）×（
）n+1-（3n-2）×（）n=9（1-n）×（）n+1，∴当n=1时，C2=C1=
当n≥2时，Cn+1＜Cn，即C2=C1＞C3＞C4＜…＞Cn
∴当n=1时，Cn取最大值是
又
∴
≥即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．
点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，裂项法求和，解不等式等问题．
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