Question

已知函数f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈(-

4

3

π，π]时，f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式化简函数的表达式，通过两角和正弦函数互为一个解答一个三角函数的形式，求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用x∈(-

4

3

π，π]，确定

x

2

+

π

3

的范围，然后求出f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin

x

2

+

3

(1-2sin2

x

4

)=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin(

x

2

+

π

3

)．…（4分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π．                              …（8分）
（Ⅱ）∵x∈(-

4

3

π，π]∴

x

2

+

π

3

∈(-

π

3

，

5

6

π]…（10分）
∴-

3

2

＜sin(

x

2

+

π

3

)≤1∴f（x）的值域为(-

3

，2]…（14分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，注意二倍角公式的应用，考查计算能力．