Question

18．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），右顶点为A（a，0），过F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．，若D到直线BC的距离等于a+c，则双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得D为△ABC的垂心，求得D（-a，0），再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，计算即可得到a=b，由离心率公式即可得到所求．

解答 解：由题意可得D为△ABC的垂心，
即有AD⊥BC，即D在x轴上，
由D到直线BC的距离等于a+c，
则D（-a，0），
令x=c，可得y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1），
解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可设B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由BD⊥AC，可得k_BD•k_AC=-1，
即$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c+a}$•$\frac{-\frac{{b}^{2}}{a}}{c-a}$=-1，
化简可得a=b，即有c=$\sqrt{2}$a，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．