Question

（2012•眉山一模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中点．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-M的大小．

Answer 1

分析：（I）连接A₁B，交AB₁于P点，由平行四边形对角线互相平分及M是BC的中点，结合三角形中位线定理可得PM∥A₁C，进而由线面平行的判定定理得到A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面AB₁M的法向量和平面AB₁B的法向量，代入向量夹角公式，可求二面角B-AB₁-M的大小

解答：证明：（I）连接A₁B，交AB₁于P点，
则P是A₁B的中点，
又M是BC的中点
则PM∥A₁C
又∵PM?平面AB₁M，A₁C?平面AB₁M
∴A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
∵CA=CB=CC₁=2，M是BC的中点
则A（2，0，0），B（0，2，0），M（0，1，0），B₁（0，2，2），
则

AM

=（-2，1，0），

AB1

=（-2，2，2），

AB

=（-2，2，0）
设平面AB₁M的法向量为

m

=（x，y，z）
则

m • AB1 =0 m • AM  =0

，即

-2x+2y+2z=0 -2x+y=0

令x=1，则

m

=（1，2，-1）
设平面AB₁B的法向量为

n

=（a，b，c）
则

n • AB1 =0 n • AB  =0

，即

-2a+2b+2c=0 -2a+2b=0

令a=1，则

n

=（1，1，0）
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

2

∴二面角B-AB₁-M的大小为30°

点评：本题考查的知识点是线面平行的判定及二面角的求解，其中（1）的关键是证得PM∥A₁C，（2）的关键是建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．