题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n= $数学公式$ S_n+1（n∈N^）；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=log₂an，c_n= $数学公式$ ，且{c_n}的前n项和为T_n，求使得 $数学公式$ 对n∈N^都成立的所有正整数k的值．

解：（1）a_n= $\text{[math]}$ S_n+1①
a_n-1= $\text{[math]}$ S_n-1+1（n≥2）②
①-②得：a_n=2a_n-1（n≥2），又易得a₁=2∴a_n=2ⁿ（4分）
（2）b_n=n， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
裂项相消可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （8分）
∵ $\text{[math]}$ （10分）
∴欲 $\text{[math]}$ 对n∈N^*都成立，须 $\text{[math]}$ ，
又k正整数，∴k=5、6、7（12分）
分析：（1）由a_n= $\text{[math]}$ S_n+1，知a_n-1= $\text{[math]}$ S_n-1+1（n≥2），从而a_n=2a_n-1（n≥2），由此能够求出数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=n， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，裂项相消得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能求出使得 $\text{[math]}$ 对n∈N^*都成立的所有正整数k的值．
点评：本题考查求解数列通项公式的方法和裂项求和法的应用，解题时要灵活运用不等式的性质求解参数的取值范围．