Question

【题目】若曲线f（x）= （e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（ ）
A.（e，e2）
B.（e， ）
C.（1，e2）
D.[1，e）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设A（x1 ， y1），y1=f（x1）= ，B（x2 ， y2），y2=g（x2）=﹣x23+x22（x＜0）， 则 =0，x2=﹣x1 ， ∴ ．
， ，
由题意， ，即 =0，
∴ ，
∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，
∴ ，
则 ．
设h（x）= ，则h′（x）= ，
∵e﹣1＜x＜e2﹣1，
∴h′（x）＞0，
即函数h（x）= 在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，
则 ，
即e＜a＜ ．
∴实数a的取值范围是（e， ）．
故选：B．
由题意设出A，B的坐标，代入函数解析式，利用中点坐标公式把B的坐标用A的坐标表示，由 可得关于A的横坐标的方程，分离参数a后构造函数h（x）= ，利用导数求其在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上的单调性，得到函数的值域得答案．