Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，∠BCC₁=

π

3

，BB₁=2．
（1）求证：平面AC₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁．

Answer 1

分析：（1）要证明平面AC₁B⊥平面ABC，先证明C₁B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC₁AB⊥，由AB⊥侧面BB₁C₁C就可以解决；而要证明C₁B⊥BC，则需要通过解三角形来证明．
（2）要确定E点的位置，使得EA⊥EB₁，由三垂线定理，必有BE⊥B₁E，通过解直角三角形BEB₁解决．

解答：（1）证明：在△BCC₁中，
∵BC=1，B₁C=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
∴BC₁=

1+4-2×1×2× 1 2

=

3

，
∴∠CBC₁=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁?面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC，
∵BC₁?平面AC₁B，
∴平面AC₁B⊥平面ABC．
（2）解：如图1，EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，
从而B₁E⊥平面ABE，且BE?平面ABE，故BE⊥B₁E，
不妨设CE=x，则C₁E=2-x，则BE²=1+x²-x，
又∵∠B1C1C=

2

3

π，∴B₁E²=1+x²+x，
在Rt△BEB₁中有x²+x+1+x²-x+1=4，从而x=±1（舍负），
故E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁．

点评：本题考查线面垂直、线线垂直、二面角的求法，是立体几何常考的问题，对于本题，通常的几何推导、向量法都不好用，而选择使用计算来证明线线关系，也是常用的证明方法之一，要根据条件适当选择．