题目内容

是否存在常数a、b、c使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

答案：
解析：

　　解：∵n(n＋1)2＝n3＋2n2＋n，

　　∴Sn＝1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2

　　＝(13＋2×12＋1)＋(23＋2×22＋2)＋…＋(n3＋2×n2＋n)

　　＝(13＋23＋…＋n3)＋2(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)．

　　由于下列等式对正整数n都成立，

　　13＋23＋…＋n3＝，

　　12＋22＋…＋n2＝，

　　1＋2＋…＋n＝．

　　由此可知Sn＝(3n2＋11n＋10)．

　　综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时，题设的等式对一切正整数n都成立．

　　思路分析：数列求和在数列中占有重要的位置，有关存在性、探索性的问题是检验学生能力的关键所在．


练习册系列答案
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3
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π
2
]．
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