Question

已知函数f（x）=

1

x

-log2

1+x

1-x

；
（1）求f(

1

2

)；
（2）求函数f（x）的定义域；
（3）判断函数f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式可得f（

1

2

）=2-log2

1+ 1 2

1- 1 2

，利用对数的运算性质，计算求得结果．
（2）由函数的解析式可得

x≠0 1+x 1-x ＞0

，解得x的范围，即可得到函数的定义域．
（3）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得f（x）在定义域内为奇函数．

解答：解：（1）由f（x）的解析式可得f（

1

2

）=2-log2

1+ 1 2

1- 1 2

=2-log₂3．
（2）由函数的解析式可得  

x≠0 1+x 1-x ＞0

，…（3分）
解得-1＜x＜1，故函数的定义域为 {x|-1＜x＜1且x≠0}．…（6分）
（3）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f(-x)=-

1

x

-log2

1-x

1+x

=-

1

x

+log2(

1-x

1+x

)-1=-(

1

x

-log2

1+x

1-x

)=-f(x)，…（11分）
所以f（x）在定义域内为奇函数．…（12分）

点评：本题主要考查求函数的值，求函数的定义域，判断函数的奇偶性的方法，属于中档题．