Question

7．数列{a_n}满足a₂=3，S_n是数列{a_n}的前n项和，且2S_n=na_n+n，（n∈N^*）
（1）计算 a₁，a₃，a₄，并由此猜想通项a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据题设条件，可求a₁，a₃，a₄的值，猜想{a_n}的通项公式．
（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．

解答 （1）令n=1，2a₁=a₁+1，∴${a_1}=1\\ n=3得2（{a_1}+{a_2}+{a_3}）=3{a_3}+3$，∴${a_3}=5\\ n=4得2（{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}）=4{a_4}+4$，∴${a_4}=7\end{array}$，
并由此猜想通项a_n=2n-1
（2）证明：①当n=1显然成立，假设n=k时成立，即a_k=2k-1，
那么当n=k+1时，
2a_k+1=2S_k+1-2S_k=（k+1）a_k+1+k+1-ka_k=-k，
∴a_k+1=$\frac{2{k}^{2}-k-1}{k-1}$=$\frac{（2k+1）（k-1）}{k-1}$=2k+1=2（k+1）-1
即当n=k+1时，猜想成立，
根据①和②对于一切的自然数n∈N^*，猜想成立

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．