Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=p-1，点（a_n+1，a_n）在直线x-y+1=0上，数列{b_n}对应的点（n，b_n）在函数f（x）=2^x-5的图象上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，{a}_{n}≤{b}_{n}}\\{{b}_{n}，{a}_{n}＞{b}_{n}}\end{array}\right.$，若c₈为数列{c_n}中唯一的最大项，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点（a_n+1，a_n）在直线x-y+1=0上，可得a_n+1-a_n+1=0，利用等差数列的通项公式即可得出；数列{b_n}对应的点（n，b_n）在函数f（x）=2^x-5的图象上，
可得b_n=2^n-5．
（2）由于数列{a_n}为单调递减数列，{b_n}为单调递增数列，可得c_n=$\left\{\begin{array}{l}{p-n，p-n≤{2}^{n-5}}\\{{2}^{n-5}，p-n＞{2}^{n-5}}\end{array}\right.$．由于c₈为数列{c_n}中唯一的最大项，
c₈＞c₇，c₈＞c₉，即可得出．

解答 解：（1）∵点（a_n+1，a_n）在直线x-y+1=0上，
∴a_n+1-a_n+1=0，即a_n+1-a_n=-1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为p-1，公差为-1，
∴a_n=p-1-（n-1）=p-n．
∵数列{b_n}对应的点（n，b_n）在函数f（x）=2^x-5的图象上，
∴b_n=2^n-5．
（2）由于数列{a_n}为单调递减数列，{b_n}为单调递增数列，
且c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，{a}_{n}≤{b}_{n}}\\{{b}_{n}，{a}_{n}＞{b}_{n}}\end{array}\right.$，
∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{p-n，p-n≤{2}^{n-5}}\\{{2}^{n-5}，p-n＞{2}^{n-5}}\end{array}\right.$．
∵c₈为数列{c_n}中唯一的最大项，
∴c₈＞c₇，c₈＞c₉，
∴c₇=$\left\{\begin{array}{l}{p-7，p≤11}\\{4，p＞11}\end{array}\right.$，c₈=$\left\{\begin{array}{l}{p-8，p≤16}\\{8，p＞16}\end{array}\right.$，c₉=$\left\{\begin{array}{l}{p-9，p≤25}\\{16，p＞25}\end{array}\right.$．
∴12＜p≤16．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性、分段函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．