Question

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，那么(3

x

-

1

x

)n的展开式中的常数项为______．

Answer 1

因为（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=1得：2+2²+2³+…+2ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n，
∵a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，
∴2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=126
即2ⁿ⁺¹=128=2⁷．
解得n=6．
所以(3

x

-

1

x

)n的展开式中的通项为：

C

r6

•(3

x

)6-r•(-

1

x

)r=（-1）^r3^6-r•C₆^r•x

6-2r

2

．
令

6-2r

2

=0，得r=3．
所以(3

x

-

1

x

)n的展开式中的常数项为：（-1）³•3³•C₆³=-540．
故答案为：-540．