题目内容

已知函数φ（x）=5x²+5x+1（x∈R），函数y=f（x）的图象与φ（x）的图象关于点（0， $数学公式$ ）中心对称．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）如果g₁（x）=f（x），g_n（x）=f[g_n-1（x）]（n∈N，n≥2），试求出使g₂（x）＜0成立的x取值范围；
（3）是否存在区间E，使E∩{x|f（x）＜0}=∅对于区间内的任意实数x，只要n∈N且n≥2时，都有g_n（x）＜0恒成立？

（本小题满分13分）
解：（1）∵函数y=f（x）的图象与φ（x）的图象关于点（0， $\text{[math]}$ ）中心对称
∴f（x）=1-φ（-x）=1-（5x²-5x+1）=5x-5x²（2）由g₂（x）=5g₁（x）-5g₁²（x）＜0解得g₁（x）＜0或g₁（x）＞1
即5x-5x²＜0或5x-5x²＞1
解得x＜0或x＞1或 $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$
（3）由{x|f（x）＜0}={x|x＜0或x＞1}，
又（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）∩{x|x＜0或x＞1}=∅，，
当x∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，g₂（x）＜0，g₃（x）=5g₂（x）-5g₂²（x）＜0，
∴对于n=2，3时，E⊆（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），命题成立．
以下用数学归纳法证明E⊆（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），对n∈N，且n≥2时，都有g_n（x）＜0成立
假设n=k（k≥2，k∈N）时命题成立，即g_k（x）＜0，
那么g_k+1（x）=f[g_k（x）]=5g_k（x）-5g_k²（x）＜0即n=k+1时，命题也成立．
∴存在满足条件的区间E⊆（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据函数y=f（x）的图象与φ（x）的图象关于点（0， $\text{[math]}$ ）中心对称可得f（x）=1-φ（-x），可求出所求；
（2）由g₂（x）=5g₁（x）-5g₁²（x）＜0求出g₁（x）的范围，然后可求出x的取值范围；
（3）根据（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）∩{x|f（x）＜0}=∅，验证n=2，3是否成立，然后利用数学归纳法进行证明即可．
点评：本题主要考查了函数的对称性，以及不等式的解法和数学归纳法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．