Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω，0，0＜φ＜

π

2

），图象与x轴交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

．且图象最低点M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）解析式
（2）将y=f（x）所有点纵坐标缩短到原来的

1

2

倍（横坐标不变），在将图象向右平移

π

3

个单位长度，最后在将所有点横坐标伸长到原来4倍（纵坐标不变）得到y=g（x），求y=log_0.7g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）依题意，可知周期T=π，从而可知ω，由图象最低点M（

2π

3

，-2），0＜φ＜

π

2

，可求得A与φ，从而可得f（x）解析式；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=-cos

x

2

，利用复合函数的同增异减的单调性即可求得y=log_0.7g（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）由相邻两个交点之间的距离为

π

2

，则周期T=π，
解得ω=2，图象最低点M（

2π

3

，-2）得：A=2，
2sin（2x+φ）=-2，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）…4分
（2）由图象变换知：g（x）=-cos

x

2

…6分
由g（x）＞0，即-cos

x

2

＞0得：cos

x

2

＜0，
解得4kπ+π≤x≤4kπ+3π（k∈Z）…8分
要求y=log_0.7g（x）的单调递减区间，由复合函数同增异减的单调性知，
需求g（x）的单调递增区间，即求cos

x

2

的单调递减区间，
由2kπ≤

x

2

≤2kπ+π（k∈Z）得：x∈[4kπ，4kπ+2π]（k∈Z），…10分
∴y=log_0.7g（x）的单调递减区间为[4kπ+π，4kπ+2π]（k∈Z），…12分

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，突出考查复合函数同增异减的单调性质，属于难题．