Question

设
（1）若，求及数列的通项公式；
（2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.

Answer 1

（1）；（2）存在，

试题分析：（1）由
所以数列是等差数列，可先求数列再求数列的通项公式；也可以先根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，然后由数学归纳法证明.
（2）利用数列的递推公式构造函数，
由，然后结合函数的单调性，用数学归纳法证明即可.
解:（1）解法一：
再由题设条件知
从而是首项为0公差为1的等差数列，
故=，即
解法二：
可写为.因此猜想.
下用数学归纳法证明上式：
当时结论显然成立.
假设时结论成立，即.则

这就是说，当时结论成立.
所以
（2）解法一：设，则.
令，即，解得.
下用数学归纳法证明加强命：

当时，，所以，结论成立.
假设时结论成立，即
易知在上为减函数，从而

即
再由在上为减函数得.
故，因此，这就是说，当时结论成立.
综上，符合条件的存在，其中一个值为.
解法二：设，则
先证：         ①
当时，结论明显成立.
假设时结论成立，即
易知在上为减函数，从而

即这就是说，当时结论成立，故①成立.
再证：           ②
当时，，有，即当时结论②成立
假设时，结论成立，即
由①及在上为减函数，得


这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.
由②得
即
因此
又由①、②及在上为减函数得
即
所以解得.
综上，由②③④知存在使对一切成立.