Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，?n∈N^*，S_n+1=2S_n+1．
（1）求{S_n}的通项公式．
（2）证明：对?n∈N^*，

n

i=1

i

ai

＜4．

Answer 1

分析：（1）由题意可知S_n+1+1=2S_n+1+1=2（S_n+1），得到{S_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，求出S_n+1的通项公式即可得到S_n=2ⁿ-1；
（2）利用做差法得到a_n+1=S_n+1-S_n=2ⁿ，a₁=1=2^1-1，所以?n∈N^*，a_n=2^n-1，分别表示出各项，利用错位相减法得到小于4即可．

解答：（1）依题意，?n∈N^*，S_n+1+1=2S_n+1+1=2（S_n+1），S₁+1=a₁+1=2≠0
所以{S_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，所以S_n+1=2ⁿ，S_n=2ⁿ-1
（2）对?n∈N^*，a_n+1=S_n+1-S_n=2ⁿ，a₁=1=2^1-1，所以?n∈N^*，a_n=2^n-1

n

i=1

i

ai

=

1

20

+

2

21

+

3

22

++

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，
所以

1

2

n

i=1

i

ai

=

1

21

+

2

22

+

3

23

++

n-1

2n-1

+

n

2n

，两式相减，
整理得

n

i=1

i

ai

=2+2×(

1

21

+

1

22

++

1

2n-1

)-

n

2n-1

=4-

2+n

2n-1

＜4

点评：考查学生灵活运用等比数列的通项公式，以及会利用错位相减的方法求数列的和，会用前n+1项的和减前n项的和求出数列的通项公式．