Question

已知圆C：x²+y²-8y+12=0，直线l过定点P（-2，0）．
（1）若直线l与圆C相切，试求直线l的方程；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|

AB

|=2

2

时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）将圆的方程化为标准形式，求得圆心为（0，4），半径为2．分直线l的斜率不存在和斜率存在两种情况，分别求得圆的切线方程．
（2）设所求的直线方程为y=k（x+2），则由弦长公式可得弦心距d=

4-2

=

2

，即

|2k-4|

k2+1

=

2

，求得k的值，即可求得圆的切线方程．

解答：解：（1）将圆的方程配方得：x²+（y-4）²=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=-2，经过检验，此直线和圆相切．
当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k（x+2），由直线和圆相切的性质可得，圆心到直线的距离等于半径，
即

|2k-4|

k2+1

=2，解得k=

3

4

，故所求的切线方程为 y=

3

4

x+

3

2

．
综上，所求的圆的切线方程为x=-2，或 y=

3

4

x+

3

2

．
（2）设所求的直线方程为y=k（x+2），则由弦长公式可得弦心距d=

4-2

=

2

，即

|2k-4|

k2+1

=

2

，
解得k=1，或 k=7．
故所求的切线方程为 y=x+2，或y=7（x+2），
即 x-y+2=0，或 7x-y+14=0．

点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．