Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=2c，且A-C=

π

2

．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）当b=1时，求△ABC的面积S的值．

Answer 1

分析：（1）由已知及正弦定理可得，sinA=2sinC，结合A-C=

π

2

及同角平方关系即可求解cosC
（2）由已知可得B=π-（A+C）=

1

2

π-2C，结合（1）及二倍角公式可求sinB，然后由正弦定理，

b

sinB

=

c

sinC

可求c，代入三角形的面积公式可得，S=

1

2

absinC可求

解答：解：（1）∵a=2c，
由正弦定理可得，sinA=2sinC
∵A-C=

π

2

则C为锐角，cosC＞0
∴sinA=sin（C+

π

2

）=cosC
联立可得，2sinC=cosC
∵sin²C+cos²C=1
∴sinC=

5

5

，cosC=

2 5

5

（2）由A=C+

1

2

π可得B=π-（A+C）=

1

2

π-2C
∴sinB=cos2C=2cos²C-1=

3

5

由正弦定理可得，

b

sinB

=

c

sinC

即

1

3 5

=

c

5 5

∴c=

5

3

由三角形的面积公式可得，S=

1

2

absinC=

1

2

×

2 5

3

×1×

5

5

=

1

3

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理同角平方关系及三角形的面积公式等 知识的综合应用，解题的关键是灵活利用基本公式